Уравнения Лагранжа


Помимо принципа эквивалентности, в защиту относительности ускорений приводилось то обстоятельство, что формальный аппарат общей теории относительности допускает применение произвольных координатных систем, в том числе и таких, которые движутся ускоренным образом. Это достигается тем, что уравнения новой теории ковариантны по отношению к «произвольными преобразованиям координат и времени. Мы ставим слово «произвольным» в кавычки, так как в действительности допустимые преобразования координат не вполне произвольны, а ограничены рядом неравенств, которые гарантируют то, что одна из переменных имеет характер времени, а остальные три — характер пространственных координат. Этот второй довод в защиту относительности ускорений легко может быть опровергнут. В самом деле, выбор независимых переменных в каждой физической задаче есть вопрос математического удобства и в широкой мере произволен. (Правда, самый факт, что в данной задаче подобными являются именно те, а не другие, независимые переменные, представляет отражение объективных особенностей этой задачи.) Независимые переменные, как и другие вспомогательные математические величины, служат только средством для выражения физических законов. Самые же эти законы устанавливают связь между различными физическими процессами, между различными физическими величинами, объективно существующими и поддающимися наблюдению и измерению. Поэтому формулировка физических законов должна быть ковариантной, то есть такой, чтобы было безразлично, какие вспомогательные математические величины при этом используются. Всякая физическая теория, кроме явно нелепой, должна быть ковариантной. Поразившая воображение физиков ковариантность общей теории относительности не является ее монополией, а обязательна для всякой физической теории. В частности, механика Ньютона удовлетворяет требованию ковариантности. Существует и прекрасно разработанный формальный математический аппарат — уравнения Лагранжа второго рода,— который позволяет формулировать механику Ньютона ковариантным образом. В отношении ковариантности общая теория относительности не имеет никаких преимуществ перед механикой Ньютона. Более того, можно утверждать, что механика Ньютона ковариантна в отношении более широкой группы преобразований координат, чем общая теория относительности. В самом деле, в механике Ньютона допустимы координатные системы, движущиеся с произвольной скоростью, тогда как в общей теории относительности допустимы лишь такие, которые движутся со скоростью, меньшей скорости света (в противном случае оказались бы нарушенными упомянутые выше неравенства).